Ensembles finis Exemples

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 1.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.7

Multipliez $13$ par $1$ .

$2 + 13 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.8

Additionnez $2$ et $13$ .

$15 - 15$

Étape 1.2.2.1.3.9

Soustrayez $15$ de $15$ .

$0$

Étape 1.2.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

Étape 1.2.2.1.5

Divisez $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ par $x - 1$ .

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Étape 1.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

Étape 1.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

Étape 1.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Étape 1.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Étape 1.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 2 x$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

Étape 1.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Étape 1.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Étape 1.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Étape 1.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15 x - 15$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Étape 1.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Étape 1.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 2 x + 15$

Étape 1.2.2.1.6

Écrivez $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.5

Définissez $- x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $- x - 3$ égal à $0$ .

$- x - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $- x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 3$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x = - 3$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3, 5$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.5

Simplifiez $- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $13$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 15$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 15$

Étape 2.2.5.2.3

Soustrayez $15$ de $0$ .

$y = - 15$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 15)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 15)$

Étape 4